${\displaystyle {}a\geq b\,}$

oder

${\displaystyle {}b\geq a\,.}$

Im ersten Fall ist dann auch

${\displaystyle {}a^{2}=a\cdot a\geq a\cdot b\,}$

nach Fakt  (3) und somit erst recht

${\displaystyle {}a^{2}+b^{2}\geq a\cdot b\,.}$

Diese Abschätzung ergibt sich im anderen Fall genauso.

${\displaystyle {}e\star x=x\,}$

für alle ${\displaystyle {}x\in \mathbb {N} }$, die für ein neutrales Element ${\displaystyle {}e}$ gelten muss. Dies muss insbesondere auch für ${\displaystyle {}x=0}$ gelten, was auf

${\displaystyle {}0=e\star 0=e^{2}-0+0=e^{2}\,}$

führt. Der einzige Kandidat ist also ${\displaystyle {}e=0}$. Allerdings ist

${\displaystyle {}e\star 2=0\star 2=2^{2}=4\,}$

und somit ist ${\displaystyle {}0}$ nicht das neutrale Element. Es gibt also kein neutrales Element.

${\displaystyle {}5\star (4\star 3)=5\star (16+9-12)=5\star 13=25+169-65=129\,.}$