Es ist direkt

${\displaystyle {}x\leq x\sqcup (x\sqcap y)\,.}$

Ferner ist

${\displaystyle {}x\sqcap y\leq x\,}$

und somit ist ${\displaystyle {}x}$ eine obere Schranke von ${\displaystyle {}x}$ und von ${\displaystyle {}x\sqcap y}$ und daher ist

${\displaystyle {}x\sqcup (x\sqcap y)\leq x\,.}$

Aus der Antisymmetrie folgt

${\displaystyle {}x=x\sqcup (x\sqcap y)\,.}$