Zunächst ist unter Verwendung der beiden Absorptionsgesetze

${\displaystyle {}x\sqcap x=x\sqcap (x\sqcup (x\sqcap x))=x\,,}$

was die Reflexivität der Relation bedeutet. Zum Nachweis der Transitivität seien ${\displaystyle {}z\geq y}$ und ${\displaystyle {}y\geq x}$ gegeben. Das bedeutet ${\displaystyle {}z\sqcap y=y}$ und ${\displaystyle {}y\sqcap x=x}$. Damit ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}z\sqcap x&=z\sqcap (y\sqcap x)\\&=(z\sqcap y)\sqcap x\\&=y\sqcap x\\&=x,\end{aligned}}}$

was ${\displaystyle {}z\geq x}$ bedeutet. Zum Nachweis der Antisymmetrie sei ${\displaystyle {}y\geq x}$ und ${\displaystyle {}x\geq y}$. Daraus ergibt sich sofort ${\displaystyle {}x=x\sqcap y=y}$.

Wir zeigen nun, dass ${\displaystyle {}x\sqcap y}$ das Infimum von ${\displaystyle {}x}$ und ${\displaystyle {}y}$ in der soeben etablierten Ordnung ist. Wegen

${\displaystyle {}x\sqcap (x\sqcap y)=(x\sqcap x)\sqcap y=x\sqcap y\,}$

ist ${\displaystyle {}x\geq x\sqcap y}$ und ebenso ${\displaystyle {}y\geq x\sqcap y}$, es ist also

${\displaystyle {}x\sqcap y\leq x,y\,.}$

Sei nun ${\displaystyle {}z\leq x,y}$. Dies bedeutet ${\displaystyle {}x\sqcap z=z}$ und ${\displaystyle {}y\sqcap z=z}$. Dann ist

${\displaystyle {}(x\sqcap y)\sqcap z=x\sqcap (y\sqcap z)=x\sqcap z=z\,,}$

also ${\displaystyle {}z\leq x\sqcap y}$. Somit ist ${\displaystyle {}x\sqcap y}$ das Infimum.

Um die Aussage über das Supremum zu beweisen, zeigt man zunächst, dass ${\displaystyle {}x=x\sqcap y}$ zu ${\displaystyle {}y=x\sqcup y}$ äquivalent ist. Wenn nämlich das erste gilt, so ist

${\displaystyle {}x\sqcup y=(x\sqcap y)\sqcup y=y\,}$

nach einem Absorptionsgesetz. Wenn das zweite gilt, so ist

${\displaystyle {}x\sqcap y=x\sqcap (x\sqcup y)=x\,,}$

ebenfalls nach einem Absorptionsgesetz. Damit folgt die Aussage über das Supremum wie die Aussage über das Infimum.