Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}V}$ eine Menge mit einem ausgezeichneten Element ${\displaystyle {}0\in V}$ und mit zwei Abbildungen

${\displaystyle +\colon V\times V\longrightarrow V,\,(u,v)\longmapsto u+v,}$

und

${\displaystyle \cdot \colon K\times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv=s\cdot v.}$

Dann nennt man ${\displaystyle {}V}$ einen ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum (oder einen Vektorraum über ${\displaystyle {}K}$), wenn die folgenden Axiome erfüllt sind (dabei seien ${\displaystyle {}r,s\in K}$ und ${\displaystyle {}u,v,w\in V}$ beliebig)

1. ${\displaystyle {}u+v=v+u}$,
2. ${\displaystyle {}(u+v)+w=u+(v+w)}$,
3. ${\displaystyle {}v+0=v}$,
4. Zu jedem ${\displaystyle {}v}$ gibt es ein ${\displaystyle {}z}$ mit ${\displaystyle {}v+z=0}$,
5. ${\displaystyle {}1\cdot u=u}$,
6. ${\displaystyle {}r(su)=(rs)u}$,
7. ${\displaystyle {}r(u+v)=ru+rv}$,
8. ${\displaystyle {}(r+s)u=ru+su}$.