Wir beweisen die Aussage durch eine Doppelinduktion über ${\displaystyle {}k,n\geq 1}$. Die Fälle

${\displaystyle {}(k,n)=(1,1),\,(1,2),\,(2,1)\,}$

sind unmittelbar klar bzw. folgen direkt aus den Axiomen für einen Vektorraum.

Die Aussage für ${\displaystyle {}k=1}$ und beliebige ${\displaystyle {}n}$ beweisen für durch Induktion nach ${\displaystyle {}n}$, wobei der Induktionsanfang durch die Vorbemerkung gesichert ist. Sei die Aussage für ein ${\displaystyle {}n}$ schon bewiesen, und seien ${\displaystyle {}n+1}$ Vektoren${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n},v_{n+1}\in V}$ gegeben. Dann ist unter Verwendung des Falles ${\displaystyle {}(1,2)}$ und der Induktionsvoraussetzung

${\displaystyle {}{\begin{aligned}s{\left(\sum _{j=1}^{n+1}v_{j}\right)}&=s{\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}+v_{n+1}\right)}\\&=s{\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}\right)}+sv_{n+1}\\&=\sum _{1\leq j\leq n}s\cdot v_{j}+sv_{n+1}\\&=\sum _{1\leq j\leq n+1}s\cdot v_{j}.\end{aligned}}}$

Wir betrachten nun die Aussage für ein festes ${\displaystyle {}k}$ und beliebige ${\displaystyle {}n}$. Für ${\displaystyle {}k=1}$ ist diese Aussage bereits bewiesen. Sei diese Aussage nun für ein festes ${\displaystyle {}k}$ schon bewiesen Es seien Skalare ${\displaystyle {}s_{1},\ldots ,s_{k},s_{k+1}\in R}$ und Vektoren ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V}$ gegeben. Dann ist unter Verwendung der Fälle ${\displaystyle {}(k,n)=(2,1),(1,n)}$ und der Induktionsvoraussetzung

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(\sum _{i=1}^{k+1}s_{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}\right)}&={\left(\sum _{i=1}^{k}s_{i}+s_{k+1}\right)}\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}\right)}\\&={\left(\sum _{i=1}^{k}s_{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}\right)}+s_{k+1}\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}\right)}\\&=\sum _{1\leq i\leq k,\,1\leq j\leq n}s_{i}\cdot v_{j}+\sum _{j=1}^{n}s_{k+1}\cdot v_{j}\\&=\sum _{1\leq i\leq k+1,\,1\leq j\leq n}s_{i}\cdot v_{j}.\end{aligned}}}$