Sei ${\displaystyle {}U\subseteq N}$ fixiert. Es sei ${\displaystyle {}x\in f^{-1}{\left(g^{-1}(U)\right)}}$. Das bedeutet

${\displaystyle f(x)\in g^{-1}(U)}$

und das bedeutet

${\displaystyle g(f(x))\in U,}$

also

${\displaystyle x\in (g\circ f)^{-1}(U).}$

Wenn umgekehrt

${\displaystyle x\in (g\circ f)^{-1}(U)}$

ist, so bedeutet dies

${\displaystyle g(f(x))\in U.}$

Also ist

${\displaystyle f(x)\in g^{-1}(U)}$

und damit

${\displaystyle x\in f^{-1}{\left(g^{-1}(U)\right)}.}$