Es sei ${\displaystyle {}u_{1},\ldots ,u_{m}}$ eine Basis von ${\displaystyle {}U}$. Jeder dieser Basisvektoren hat die Form

${\displaystyle {}u={\begin{pmatrix}q_{1}\\\vdots \\q_{n}\end{pmatrix}}\,}$

mit rationalen Zahlen

${\displaystyle {}q_{j}={\frac {r_{j}}{s_{j}}}\,}$

mit ganzen Zahlen ${\displaystyle {}r_{j},s_{j}}$ und ${\displaystyle {}s_{j}\neq 0}$. Es sei

${\displaystyle {}s=s_{1}\cdots s_{n}\neq 0\,.}$

Dann besitzt

${\displaystyle {}su=s{\begin{pmatrix}q_{1}\\\vdots \\q_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}sq_{1}\\\vdots \\sq_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}s{\frac {r_{1}}{s_{1}}}\\\vdots \\s{\frac {r_{n}}{s_{n}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}s_{2}\cdots s_{n}r_{1}\\\vdots \\s_{1}\cdots s_{n-1}r_{n}\end{pmatrix}}\,}$

ganzzahlige Einträge. Wir ersetzen nun jeden Basisvektor ${\displaystyle {}u_{i}}$ durch ein solches Vielfaches ${\displaystyle {}\neq 0}$, deren Einträge ganzzahlig sind. Da man aus dieser neuen Familie die ursprüngliche Basis durch skalare Multiplikation zurückgewinnen kann, liegt ein Erzeugendensystem von ${\displaystyle {}U}$ vor, und da die Anzahl gleich der Dimension ist, handelt es sich um eine Basis.