Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl

Definition

Es sei $\Gamma$ ein Zyklus in $\mathbb {C}$ , und $z\in \mathbb {C}$ ein Punkt, den $\Gamma$ nicht trifft. Dann heißt

n(\Gamma ,z):={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {1}{w-z}}\,dw

die Umlaufzahl von $\Gamma$ um $z$ .

Motivation

Betrachten wir zunächst den Fall, dass $\Gamma =\gamma$ nur aus einer einzelnen geschlossenen Kurve besteht, dann ist $\gamma$ in $\mathbb {C} \setminus \{z\}$ homolog zu einem $n$ -fach (für ein $n\in \mathbb {Z}$ ) durchlaufenen Kreis $\partial D_{r}(z)$ um $z$ mit $r>0$ . Nun ist

\int _{\gamma }{\frac {1}{w-z}}\,dw=\int _{n\cdot \partial B(z)}{\frac {1}{w-z}}\,dw=n\int _{\partial B(z)}{\frac {1}{w-z}}\,dw=2\pi i\cdot n

zählt dieses Integral, wie oft die Kurve $\gamma$ den Punkt $z$ umläuft.

Aufgabe

Sei der geschlossene Integrationweg $\gamma :[-\pi ,+\pi ]\to \mathbb {C}$ wie folgt definiert:

\gamma (t):=\left(2+cos(t)\right)\cdot e^{2it}

Zeichnen/plotten Sie die Spur des Integrationsweges.
Geben Sie die Umlaufzahl für $n(\gamma ,1+i)$ an.
Geben Sie die Umlaufzahl für $n(\gamma ,0)$ an.
Geben Sie die Umlaufzahl für $n(\gamma ,1)$ an.

Additivität des Integrals

Für einen Zyklus $\Gamma =\sum _{i=1}^{k}n_{i}\cdot \gamma _{i}$ mit geschlossenen $\gamma _{i}$ ist wegen der Additivität des Integrals gerade

n(\Gamma ,z)=\sum _{i=1}^{k}n_{i}\cdot n(\gamma _{i},z)

also zählt die Umlaufzahl auch hier, wie oft der Punkt $z$ umlaufen wird.

Länge des Zyklus

Für einen Zyklus $\Gamma =\sum _{i=1}^{k}n_{i}\gamma _{i}$ mit geschlossenen $\gamma _{i}$ wird die Länge des Zyklus additiv über die Länge der einzelnen Integrationswege definiert.

L(\Gamma ):=\sum _{i=1}^{k}n_{i}\cdot L(\gamma _{i}).

Siehe auch

Cauchysche Integralformel für Zyklen

This article is issued from Wikiversity. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.