Auf dem kürzlich entdeckten Planeten Trigeno lebt eine rechenbegabte Spezies. Sie verwenden wie wir die rationalen Zahlen mit „unserer“ Addition und Multiplikation. Sie verwenden ferner eine Art „Ordnung“ auf den rationalen Zahlen, die sie mit ${\displaystyle {}\succeq }$ bezeichnen. Diese trigenometrische Ordnung stimmt mit unserer Ordnung überein, wenn beide Zahlen ${\displaystyle {}\neq 0}$ sind. Dagegen gilt bei ihnen

${\displaystyle {}0\succeq x\,}$

für jede rationale Zahl ${\displaystyle {}x}$. Die renommierte Ethnomathematikerin Dr. Eisenbeis vermutet, dass dies damit in Zusammenhang steht, dass sie die ${\displaystyle {}0}$ als heilig verehren.

Zeige, dass ${\displaystyle {}\succeq }$ die folgenden Eigenschaften erfüllt.

1. Für je zwei Elemente ${\displaystyle {}a,b\in \mathbb {Q} }$ gilt entweder ${\displaystyle {}a\succ b}$ oder ${\displaystyle {}a=b}$ oder ${\displaystyle {}b\succ a}$.
2. Aus ${\displaystyle {}a\succeq b}$ und ${\displaystyle {}b\succeq c}$ folgt ${\displaystyle {}a\succeq c}$ (für beliebige ${\displaystyle {}a,b,c\in \mathbb {Q} }$).
3. Aus ${\displaystyle {}a\succeq 0}$ und ${\displaystyle {}b\succeq 0}$ folgt ${\displaystyle {}a+b\succeq 0}$.
4. Aus ${\displaystyle {}a\succeq 0}$ und ${\displaystyle {}b\succeq 0}$ folgt ${\displaystyle {}ab\succeq 0}$.

${\displaystyle {}(\mathbb {Q} ,\succeq )}$