Sei ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ und ${\displaystyle {}X=\mathbb {R} ^{n+1}\smallsetminus \{0\}}$. Der euklidische Raum ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n+1}}$ ist ein reeller Vektorraum, wobei die Skalarmultiplikation von ${\displaystyle {}\lambda \in \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle {}x\in \mathbb {R} ^{n+1}}$ mit ${\displaystyle {}\lambda \cdot x}$ bezeichnet wird. Sei weiter

${\displaystyle {}R:=\{(x,y)\in X\times X\colon \,\exists \,\lambda \in \mathbb {R} \smallsetminus \{0\}{\text{ mit }}\lambda \cdot x=y\}\,.}$

1. ${\displaystyle {}1\in \mathbb {R} \smallsetminus \{0\}}$,
2. ${\displaystyle {}\lambda ^{-1}\in \mathbb {R} \smallsetminus \{0\}\,\forall \,\lambda \in \mathbb {R} \smallsetminus \{0\}}$,
3. ${\displaystyle {}\lambda \mu \in \mathbb {R} \smallsetminus \{0\}\,\forall \,\lambda ,\mu \in \mathbb {R} \smallsetminus \{0\}}$, und
4. die Skalarmultiplikation ist assoziativ.

Die Quotientenmenge, versehen mit der Quotiententopologie, heißt reell-projektiver Raum (der reellen Dimension ${\displaystyle {}n}$) und wird mit ${\displaystyle {}\mathbb {RP} ^{n}}$ bezeichnet. Einen Punkt im ${\displaystyle {}\mathbb {RP} ^{n}}$ kann man sich als Gerade durch den Nullpunkt im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n+1}}$ vorstellen.