Seien ${\displaystyle {}f,g\colon I\rightarrow X}$ stetige Abbildungen in einen topologischen Raum mit der Eigenschaft, dass ${\displaystyle {}f(0)=g(0)}$ und ${\displaystyle {}f(1)=g(1)}$. Eine Homotopie relativ ${\displaystyle {}\{0,1\}}$ von ${\displaystyle {}f}$ nach ${\displaystyle {}g}$ ist eine stetige Abbildung

${\displaystyle H\colon I\times I\longrightarrow X}$

mit den Eigenschaften, dass

${\displaystyle H(s,0)=f(s)\,\forall \,s\in I\ H(s,1)=g(s)\,\forall \,s\in I\ H(0,t)=f(0)\,\forall \,t\in I\ H(1,t)=f(1)\,\forall \,t\in I.}$

Dieser Begriff läßt sich auf stetige Abbildungen ${\displaystyle {}f,g\colon Y\to X}$ verallgemeinern, die auf einem Unterraum ${\displaystyle {}U\subseteq Y}$ übereinstimmen.