Wir betrachten direkt die Primfaktorzerlegungen

${\displaystyle {}n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{r}^{k_{r}}\,,}$

woraus direkt die Teileranzahl

${\displaystyle (k_{1}+1)(k_{2}+1)\cdots (k_{r}+1)}$

ablesbar ist. Da ${\displaystyle {}n}$ klein sein soll, können wir direkt mit den ersten Primzahlen arbeiten und ferner

${\displaystyle {}k_{1}\geq k_{2}\geq \ldots \geq k_{r}\,}$

annehmen. Bei ${\displaystyle {}r=1}$ ist

${\displaystyle {}2^{9}=512<1000\,,}$

welches ${\displaystyle {}10}$ Teiler besitzt, ${\displaystyle {}2^{10}}$ ist schon zu groß. Bei ${\displaystyle {}r=2}$ besitzt (wir führen nur ernsthafte Kandidaten auf)

${\displaystyle {}2^{8}\cdot 3=768\,}$

${\displaystyle {}18}$ Teiler,

${\displaystyle {}2^{6}\cdot 3^{2}=576\,}$

hat ${\displaystyle {}21}$ Teiler,

${\displaystyle {}2^{5}3^{3}=864\,}$

hat ${\displaystyle {}24}$ Teiler,

${\displaystyle {}2^{4}3^{4}=1296>1000\,.}$

Bei ${\displaystyle {}r=3}$ besitzt

${\displaystyle {}2^{6}\cdot 3\cdot 5=960\,}$

${\displaystyle {}28}$ Teiler,

${\displaystyle {}2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5=720\,}$

hat ${\displaystyle {}30}$ Teiler,

${\displaystyle {}2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5=1080\,}$

ist zu groß,

${\displaystyle {}2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}=900\,}$

hat ${\displaystyle {}27}$ Teiler. Bei ${\displaystyle {}r=3}$ besitzt

${\displaystyle {}2^{3}\cdot 3\cdot 5\cdot 7=840\,}$

${\displaystyle {}32}$ Teiler.

${\displaystyle {}2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7=1260\,}$

ist zu groß. Wegen

${\displaystyle {}2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11=2310>1000\,}$

kann es nicht mehr Primfaktoren geben. Also besitzt ${\displaystyle {}840}$ unter allen Zahlen unterhalb von ${\displaystyle {}1000}$ die maximale Anzahl an Teilern, nämlich ${\displaystyle {}32}$.