Aus ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{k})\subseteq (t)}$ folgt sofort ${\displaystyle {}(a_{i})\subseteq (t)}$ für ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,k}$, was gerade bedeutet, dass ${\displaystyle {}t}$ diese Elemente teilt, also ein gemeinsamer Teiler ist. Sei umgekehrt ${\displaystyle {}t}$ ein gemeinsamer Teiler. Dann ist ${\displaystyle {}a_{i}\in (t)}$ und da ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{k})}$ das kleinste Ideal ist, das alle ${\displaystyle {}a_{i}}$ enthält, muss ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq (t)}$ gelten. Der zweite Teil folgt sofort aus dem ersten.