Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}I_{m}={\begin{pmatrix}0&-E_{m}\\E_{m}&0\end{pmatrix}}\in \operatorname {GL} _{2m}\!{\left(K\right)}}$, wobei ${\displaystyle {}E_{m}}$ die Einheitsmatrix der Länge ${\displaystyle {}m}$ ist. Eine Matrix ${\displaystyle {}S\in \operatorname {GL} _{2m}\!{\left(K\right)}}$ mit

${\displaystyle {}{S^{\text{tr}}}I_{m}S=I_{m}\,}$

heißt symplektische Matrix. Die Menge aller symplektischen Matrizen heißt symplektische Gruppe, sie wird mit

${\displaystyle {}\operatorname {Sp} _{2m}\!\,{\left(K\right)}={\left\{S\in \operatorname {GL} _{2m}\!{\left(K\right)}\mid {S^{\text{tr}}}I_{m}S=I_{m}\right\}}\,}$

bezeichnet.