Die Matrix hat die Form

${\displaystyle {}M={\begin{pmatrix}a&b\\b&d\end{pmatrix}}\,.}$

Das charakteristische Polynom hat daher die Form

${\displaystyle {}\chi _{M}=\det {\left(xE_{2}-{\begin{pmatrix}a&b\\b&d\end{pmatrix}}\right)}=(x-a)(x-d)-b^{2}=x^{2}-(a+d)x+ad-b^{2}\,.}$

Wir schreiben dies als

${\displaystyle {}{\left(x-{\frac {a+d}{2}}\right)}^{2}-{\left({\frac {a+d}{2}}\right)}^{2}+ad-b^{2}={\left(x-{\frac {a+d}{2}}\right)}^{2}-{\frac {a^{2}}{4}}-{\frac {d^{2}}{4}}+{\frac {1}{2}}ad-b^{2}\,.}$

Da

${\displaystyle {}{\frac {a^{2}}{4}}+{\frac {d^{2}}{4}}-{\frac {1}{2}}ad+b^{2}={\left({\frac {a-d}{2}}\right)}^{2}+b^{2}\,}$

nichtnegativ ist, kann man daraus im Reellen die Quadratwurzel ziehen und das charakteristische Polynom besitzt Nullstellen, die Eigenwerte der Matrix sind.