Eine ungerade Zahl hat die Form ${\displaystyle {}2k-1}$, die Summe der ersten ${\displaystyle {}n}$ ungeraden Zahlen ist also gleich

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(2k-1).}$

Wir behaupten, dass dies gleich ${\displaystyle {}n^{2}}$ ist. Für ${\displaystyle {}n=1}$ ist die Aussage richtig, da die Summe gleich ${\displaystyle {}1=1^{2}}$ ist. Sei die Aussage nun für ein ${\displaystyle {}n}$ schon bewiesen. Dann ist

${\displaystyle {}\sum _{k=1}^{n+1}(2k-1)=\sum _{k=1}^{n}(2k-1)+2n+1=n^{2}+2n+1=(n+1)^{2}\,.}$