Es sei ${\displaystyle {}k}$ die größte natürliche Zahl mit ${\displaystyle {}k^{2}\leq n}$. Die Folge ${\displaystyle {}{\frac {1}{\sqrt {i}}}}$ ist fallend, deshalb können wir Glieder durch vorhergehende Glieder nach oben abschätzen. Wir erhalten

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sqrt {i}}}&\leq \sum _{i=1}^{(k+1)^{2}-1}{\frac {1}{\sqrt {i}}}\\&=\sum _{j=1}^{k}{\left(\sum _{i=j^{2}}^{(j+1)^{2}-1}{\frac {1}{\sqrt {i}}}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{k}{\left(\sum _{i=j^{2}}^{j^{2}+2j}{\frac {1}{\sqrt {i}}}\right)}\\&\leq \sum _{j=1}^{k}(2j+1){\frac {1}{\sqrt {j^{2}}}}\\&=\sum _{j=1}^{k}{\frac {2j+1}{j}}\\&\leq \sum _{j=1}^{k}3\\&=3k\\&\leq 3{\sqrt {n}}.\end{aligned}}}$