Bemerkungen

1. Ist ${\displaystyle P(A)=0}$ und ${\displaystyle B}$ beliebig, dann sind ${\displaystyle A,B}$ unabhängig (beachte, dass ${\displaystyle P(A\cap B)\leq P(A)}$ ).
2. Obige Gleichung ist im Fall ${\displaystyle P(A)>0}$ äquivalent mit ${\displaystyle P(B|A)=P(B)}$.
3. Aus ${\displaystyle A,B}$ unabhängig folgt ${\displaystyle ({\bar {A}},B),(A,{\bar {B}}),({\bar {A}},{\bar {B}})}$ unabhängig.

Bemerkung

Ein Begriff, der in der Stochastik keine Rolle spielt, ist der der paarweisen Unabhängigkeit der ${\displaystyle A_{1},...,A_{n}}$:

${\displaystyle P(A_{i}\cap A_{j})=P(A_{i})\cdot P(A_{j}),i\neq j}$

Daraus folgt nicht notwendigerweise die Unabhängigkeit der ${\displaystyle A_{1},...,A_{n}}$.

Unabhängigkeitskriterium

Folgende Eigenschaft der ${\displaystyle A_{1},...A_{n}}$ erweist sich als äquivalent zur Definition: Für jede echte, nichtleere Teilmenge ${\displaystyle \lbrace j_{1},...,j_{k}\rbrace \subset \lbrace 1,...,n\rbrace }$ mit ${\displaystyle P({A_{j}}_{1}\cap ...\cap {A_{j}}_{k})>0}$ und für jedes ${\displaystyle i\in \lbrace 1,...,n\rbrace \setminus \lbrace j_{1},...,j_{k}\rbrace }$ gilt ${\displaystyle P(A_{i}|{A_{j}}_{1}\cap ...\cap {A_{j}}_{k})=P(A_{i})}$.

Beweis - Teil 1

Aus der Definition folgt im Fall ${\displaystyle P({A_{j}}_{1}\cap ...\cap {A_{j}}_{k})>0}$ sofort

${\displaystyle P(A_{i}|{A_{j}}_{1}\cap ...\cap {A_{j}}_{k})}$

${\displaystyle ={\frac {P({A_{j}}_{1}\cap ...\cap {A_{j}}_{k}\cap A_{i})}{P({A_{j}}_{1}\cap ...\cap {A_{j}}_{k})}}=P(A_{i})}$.

Beweis - Teil 2

Gilt umgekehrt ${\displaystyle P(A_{i}|{A_{j}}_{1}\cap ...\cap {A_{j}}_{k})=P(A_{i})}$, so liefert unter der Voraussetzung

${\displaystyle P({A_{j}}_{1}\cap ...\cap {A_{j}}_{k-1})=P(A_{i})>0}$

die Produktformel

${\displaystyle P({A_{j}}_{1}\cap ...\cap {A_{j}}_{k})=P({A_{J}}_{1})\cdot P({A_{j}}_{2}|{A_{j}}_{1}\cdot P({A_{j}}_{k}|{A_{j}}_{1}\cap ...\cap {A_{j}}_{k-1})}$

${\displaystyle =P({A_{j}}_{1})\cdot ...\cdot P({A_{j}}_{k}),}$ d.h. die Definition.

Gilt ${\displaystyle P({A_{j}}_{1}\cap ...\cap {A_{j}}_{k-1})=P(A_{i})>0}$ nicht, so zeigt man, dass beide Seiten der Defintion ${\displaystyle \varnothing }$ sind.

Beispiel

Weißer und schwarzer Würfel. Gegeben ${\displaystyle A',B'\subset \lbrace 1,...,6\rbrace }$. Die Grundmenge ${\displaystyle \Omega =\lbrace 1,...,6\rbrace ^{2}}$ enthält die Teilmenge ${\displaystyle A=A'\times \lbrace 1,...,6\rbrace }$ und ${\displaystyle B=B'\times \lbrace 1,...,6\rbrace }$). Die Augenzahl des ersten Würfels liegt in ${\displaystyle A'}$ (${\displaystyle B'}$). ${\displaystyle P}$ sei die Gleichverteilung auf ${\displaystyle \Omega }$. Dann sind ${\displaystyle A,B}$ unabhängige Ereignisse.

Beweis (1) Eindeutigkeit:

Jede diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ${\displaystyle P}$ auf ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {S}})}$, welche die Definition erfüllt, besitzt ein und dieselbe Wahrscheinlichkeitsfunktion ${\displaystyle q(w),w=(w_{1},...,w_{n})\in \Omega }$, nämlich

${\displaystyle q(w)=P(\lbrace w\rbrace )=P(\lbrace w_{1}\rbrace \times ...\times \lbrace w_{n}\rbrace )=P_{1}(\lbrace w_{1}\rbrace )\cdot ...\cdot P(\lbrace w_{n}\rbrace )}$.

Beweis (2.1) Existenz:

Man definiere die Abbildung ${\displaystyle q:\Omega \to [0,1]}$ gemäß der Eindeutigkeit, d.h. ${\displaystyle q(w)=P(\lbrace w\rbrace )=P_{1}(\lbrace w_{1}\rbrace )\cdot ...\cdot P(\lbrace w_{n}\rbrace )}$. ${\displaystyle q}$ ist normiert (!), also eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf ${\displaystyle \Omega }$, die eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ${\displaystyle P}$ auf ${\displaystyle \Omega }$ definiert. ${\displaystyle P}$ erfüllt die Definition, denn

Beweis (2.2) Existenz:

${\displaystyle P(A_{1}\times ...\times A_{n})=\sum _{w_{1}\in A_{1},...,w_{n}\in A_{n}}q((w_{1},...,w_{n}))}$

${\displaystyle =\sum _{w_{1}\in A_{1}}P_{1}(\lbrace w_{1}\rbrace )\cdot ...\cdot \sum _{w_{n}\in A_{n}}P(\lbrace w_{n}\rbrace )}$

${\displaystyle =P_{1}(A_{1})\cdot ...\cdot P_{n}(A_{n}).}$

Bemerkungen (1)

1. Die einzelnen Faktoren ${\displaystyle P_{1},...,P_{n}}$ der Produktverteiltung ${\displaystyle P=\otimes _{i=1}^{n}P_{i}}$ (auch Randverteilungen genannt) lassen sich (wie folgt, aus ${\displaystyle P}$) zurückgewinnen:

Ist nämlich ${\displaystyle A_{i}\in \Omega }$, (${\displaystyle i=\lbrace 1,...,n\rbrace }$), so setzt man ${\displaystyle A=\Omega _{1}\times ...\times \Omega _{i-1}\times A_{i}\times \Omega _{i+1}\times ...\times \Omega _{n}}$ und hat

${\displaystyle P(A)=1\cdot ...\cdot 1\cdot P(A_{i})\cdot ...\cdot 1\cdot 1=P_{i}(A_{i})}$

Bemerkungen (2)

2. Spezialfall:
${\displaystyle \Omega _{1},...,\Omega _{n}}$ endlich ${\displaystyle P=\otimes _{i=1}^{n}P_{i}}$ ist genau dann die Gleichverteilung auf ${\displaystyle \Omega =\Omega _{1}\times ...\times \Omega _{n}}$, wenn jedes ${\displaystyle P_{i},(i=1,...,n)}$ Gleichverteilung auf ${\displaystyle \Omega _{i}}$ ist.

In der Tat:

${\displaystyle P(\lbrace w\rbrace )={\frac {1}{|\Omega _{1}|\cdot ...\cdot |\Omega _{n}|}}}$ für alle ${\displaystyle w=(w_{1},...,w_{n})\in \Omega }$

(Definition Produkt WKT-Räume) ${\displaystyle \Uparrow }$ ${\displaystyle \Downarrow }$ (obige Bemerkung 1)

${\displaystyle P_{i}(\lbrace w_{i}\rbrace )={\frac {1}{|\Omega |}}}$ für alle ${\displaystyle i=1,...,n,w_{i}\in \Omega }$

Bemerkungen (3)

3. Ist ${\displaystyle \Omega _{1}=...=\Omega _{n},P_{1}=...=P_{n}}$, so bildet ${\displaystyle \Omega _{1}^{n},\otimes _{i=1}{n}P_{i}}$ ein Modell für die n-fache unabhängige Wiederholung eines Zufallsexperimentes ${\displaystyle \Omega _{1},P_{1}}$. (sogenannte "Produktexperimente")

4. Es gibt viele Möglichkeiten, eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ${\displaystyle P}$ auf ${\displaystyle \Omega _{1}\times ...\times \Omega _{n}}$ anders zu definieren, als durch ${\displaystyle \otimes _{i=1}^{n}P_{i}}$, so dass immer noch die obige Bemerkung 1 erfüllt ist.

Beispiel (1)

${\displaystyle \Omega _{1}=...=\Omega _{n},P_{1}=...=P_{n}}$; definiere Wahrscheinlichkeitsverteilung ${\displaystyle P}$ auf ${\displaystyle \Omega _{1}^{n}}$ durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion

${\displaystyle P((w_{1},...,w_{n}))=\left\{{\begin{array}{ll}P_{1}(\lbrace w_{1}\rbrace ),&w_{1}=...=w_{n}\\0,&sonst\end{array}}\right..}$

${\displaystyle P}$ erfüllt nicht die Bemerkung 1, somit ist ${\displaystyle P}$ keine Produktwahrscheinlichkeit. In der Tat, für ${\displaystyle w_{1}}$ mit ${\displaystyle 0<P_{1}(\lbrace w_{1}\rbrace )<1}$ gilt für ${\displaystyle n}$ Ergebnisse ${\displaystyle w_{1}}$

${\displaystyle P(\lbrace w_{1}\rbrace \times ...\times \lbrace w_{1}\rbrace )}$

${\displaystyle =P(\lbrace (w_{1},...,w_{1})\rbrace )=P_{1}(\lbrace w_{1}\rbrace )\neq [P_{1}(\lbrace w_{1}\rbrace )]^{n}.}$

Beispiel (2)

Der Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega _{1}^{n},P)}$, ${\displaystyle P}$ wie oben beschrieben, steht für das Zufallsexperimen "${\displaystyle n}$ identische Wiederholungen", das extreme Gegenteil von "${\displaystyle n}$ unabhängige Wiederholungen".

Bemerkungen

1. Für unabhängige ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$ sind die Ereignisse ${\displaystyle X_{1}^{-1}(B_{1}),...,X_{n}^{-1}(B_{n})}$ unabhängig. In der Tat, ist ${\displaystyle J=\lbrace j_{1},...,j_{k}\rbrace \subset \lbrace 1,...,n\rbrace }$ nicht leer, dann lautet die Definition mit ${\displaystyle B_{j}=\Omega '_{j}}$ für ${\displaystyle j\notin J}$ wegen ${\displaystyle X_{j}^{-1}(\Omega '_{j})=\Omega }$:

${\displaystyle P({X_{j}}_{1}^{-1}({B_{j}}_{1})\cap ...\cap {X_{j}}_{k}^{-1}({B_{j}}_{k}))=P({X_{j}}_{1}^{-1}({B_{j}}_{1}))\cdot ...\cdot P({X_{j}}_{k}^{-1}({B_{j}}_{k}))}$

2. Die Definition lässt sich auch auf folgende Weisen schreiben:

• ${\displaystyle P((X_{1},...,X_{n})\in B_{1}\times ...\times B_{n})=P(X_{1}\in B_{1})\cdot ...\cdot P(X_{n}\in B_{n})}$

• ${\displaystyle P_{(X_{1},...X_{n})}(B_{1}\times ...\times B_{n})={P_{X}}_{1}(B_{1})\cdot ...\cdot {P_{X}}_{n}(B_{n})}$ jeweils für alle ${\displaystyle B_{i}\subset \Omega '_{i},i=1,...,n}$.

Die letzte Gleichung führt unter Berücksichtigung der Definition der Produktverteilung zu folgendem Satz.

Beweis

Wegen ${\displaystyle (\phi _{i}\circ X_{i})^{-1}(B_{i})=X_{i}^{-1}(\phi ^{-1}(B_{i})),B_{i}\subset \mathbb {R} }$ gilt

${\displaystyle P((\phi _{1}\circ X_{1})^{-1}(B_{1})\cap ...\cap (\phi _{n}\circ X_{n})^{-1}(B_{n}))}$

${\displaystyle =P(X_{1}^{-1}(\phi _{1}^{-1}(B_{1}))\cap ...\cap X_{n}^{-1}(\phi _{n}^{-1}(B_{n})))}$

${\displaystyle =P(X_{1}^{-1}(\phi _{1}^{-1}(B_{1})))\cdot ...\cdot P(X_{n}^{-1}(\phi _{n}^{-1}(B_{n})))}$

${\displaystyle =P((\phi _{1}\circ X_{1})^{-1})\cdot ...\cdot P((\phi _{n}\circ X_{n})^{-1}(B_{n})).}$

Sind also die beiden Zufallsvariablen ${\displaystyle X,Y}$ unabhängig, dann auch die Zufallsvariablen ${\displaystyle |X|,Y^{2}}$ und auch die Zufallsvariablen ${\displaystyle e^{X},sin(Y)}$, nicht aber die Zufallsvaraiblen ${\displaystyle X+Y,X-Y}$.