Wir betrachten den Ring der stetigen reellwertigen Funktionen auf ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ (oder auf einer Intervallumgebung des Nullpunktes oder den Ring der Keime stetiger Funktionen). Die Funktion

${\displaystyle {}f(x):={\begin{cases}{\frac {1}{e^{1/x}}}{\text{ für }}x>0\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,}$

ist stetig. Für jedes ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$ ist ${\displaystyle {}{\frac {f}{x^{n}}}}$ stetig im Nullpunkt fortsetzbar, da

${\displaystyle {}{\frac {e^{-1/x}}{x^{n}}}=e^{-u}u^{n}={\frac {u^{n}}{e^{u}}}\,}$

für

${\displaystyle {}u={\frac {1}{x}}\rightarrow \infty \,}$

gegen ${\displaystyle {}0}$ geht. Somit gilt in diesem Ring die faktorielle Zerlegung

${\displaystyle {}f=x^{n}\cdot g_{n}\,}$

für beliebiges ${\displaystyle {}n}$.