{{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Unter einer Quader-Treppenfunktion verstehen wir eine Abbildung

${\displaystyle t\colon [a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{d},b_{d}]\longrightarrow \mathbb {R} ,}$

für die es Intervallunterteilungen

${\displaystyle a_{1}=c_{10}<c_{11}<\ldots <c_{1n_{1}}=b_{1},\ldots ,a_{d}=c_{d0}<c_{d1}<\ldots <c_{dn_{d}}=b_{d},}$

derart gibt, dass {{math/disp|term=t {{|}}_{[ c_{1j_1}, c_{1\, j_1+1} ] \times \cdots \times} [ c_{dj_d},c_{d\, j_d+1} ]|SZ=}} konstant ist. Das zugehörige Integral nennen wir Treppenintegral.

Es sei

${\displaystyle f\colon [a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{d},b_{d}]\longrightarrow \mathbb {R} }$

eine stetige Funktion. Zeige, dass das Supremum der Treppenintegrale zu unteren Treppenfunktionen von ${\displaystyle {}f}$ gleich dem Infimum der Treppenintegrale zu oberen Treppenfunktionen von ${\displaystyle {}f}$ ist, und somit auch gleich dem Lebesgue-Integral. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Integrationstheorie auf Maßräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}