Es handelt sich um eine rationale Funktion, bei der der Zählergrad größer als der Nennergrad ist. Daher führen wir zuerst die Division mit Rest durch, diese liefert

${\displaystyle {}x^{3}+x=(x^{2}-1)x+2x\,}$

bzw.

${\displaystyle {}{\frac {x^{3}+x}{x^{2}-1}}=x+2{\frac {x}{x^{2}-1}}\,.}$

Eine Stammfunktion des hinteren Summanden ist

${\displaystyle \ln {\left(x^{2}-1\right)},}$

daher ist insgesamt

${\displaystyle {\frac {1}{2}}x^{2}+\ln {\left(x^{2}-1\right)}}$

${\displaystyle {}{\frac {x^{3}+x}{x^{2}-1}}}$