Wir verwenden partielle Integration und leiten den linken Faktor ab, das ergibt ${\displaystyle {}{\frac {\cos x}{1+\sin x}}}$ und nehmen für den rechten Faktor die Stammfunktion ${\displaystyle {}-\cos x}$. Das ergibt

${\displaystyle {}\int \ln \left(1+\sin x\right)\sin xdx=-\ln \left(1+\sin x\right)\cos x+\int {\frac {\cos x}{1+\sin x}}\cos xdx\,.}$

Das rechte Integral ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\int {\frac {\cos x}{1+\sin x}}\cos xdx&=\int {\frac {\cos ^{2}x}{1+\sin x}}dx\\&=\int {\frac {1-\sin ^{2}x}{1+\sin x}}dx\\&=\int {\frac {(1-\sin x)(1+\sin x)}{1+\sin x}}dx\\&=\int 1-\sin xdx\\&=x+\cos x.\end{aligned}}}$

Eine Stammfunktion ist somit

${\displaystyle -\ln \left(1+\sin x\right)\cos x+x+\cos x,}$

was man durch ableiten bestätigt