Wir betrachten die Funktion

${\displaystyle {}g(x)=x-\sin x\,}$

auf ${\displaystyle {}[0,{\frac {\pi }{2}}]}$. Wegen

${\displaystyle {}g'(x)=1-\cos x\,}$

ist dies positiv für ${\displaystyle {}x>0}$ und gleich ${\displaystyle {}0}$ für ${\displaystyle {}x=0}$. Daher ist ${\displaystyle {}g}$ streng wachsend und es gilt

${\displaystyle {}\sin x<x\,}$

für ${\displaystyle {}x>0}$ und ${\displaystyle {}\sin 0=0}$. Daher ist die Folge zu jedem Startwert ${\displaystyle {}x_{0}\in [0,{\frac {\pi }{2}}]}$ fallend und konvergiert gegen einen Grenzwert, da alle Folgenglieder nichtnegativ sind. Es sei ${\displaystyle {}a}$ der Grenzwert, der wieder zu ${\displaystyle {}[0,{\frac {\pi }{2}}]}$ gehören muss. Wegen der rekursiven Beziehung

${\displaystyle {}x_{n+1}=\sin x_{n}\,}$

und der Stetigkeit des Sinus folgt

${\displaystyle {}a=\sin a\,.}$

Nach den bisherigen Überlegungen muss ${\displaystyle {}a=0}$

${\displaystyle {}0}$