${\displaystyle 0,{\frac {\pi }{4}},{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{4}},\pi .}$

${\displaystyle \sin 0=0,\,\sin {\frac {\pi }{4}}={\frac {1}{\sqrt {2}}},\,\sin {\frac {\pi }{2}}=1,\,\sin {\frac {3\pi }{4}}={\frac {1}{\sqrt {2}}},\,\sin \pi =0.}$

Dabei ergibt sich die zweite Gleichung aus ${\displaystyle {}\sin {\frac {\pi }{4}}=\cos {\frac {\pi }{4}}}$ und der Kreisgleichung ${\displaystyle {}\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}$. Die dritte Gleichung folgt daraus aus der Symmetrie des Sinus.

Die erste Teilstrecke des Streckenzugs verbindet die beiden Punkte ${\displaystyle {}(0,0)}$ und ${\displaystyle {}({\frac {\pi }{4}},{\frac {1}{\sqrt {2}}})}$, deren Länge ist also

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\sqrt {({\frac {\pi }{4}})^{2}+({\frac {1}{\sqrt {2}}})^{2}}}&={\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{4^{2}}}+{\frac {1}{2}}}}\\&={\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{4^{2}}}+{\frac {8}{4^{2}}}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\pi ^{2}+8}}.\end{aligned}}}$

Die zweite Teilstrecke des Streckenzugs verbindet die beiden Punkte ${\displaystyle {}({\frac {\pi }{4}},{\frac {1}{\sqrt {2}}})}$ und ${\displaystyle {}({\frac {\pi }{2}},1)}$, deren Länge ist also

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\sqrt {({\frac {\pi }{4}})^{2}+(1-{\frac {1}{\sqrt {2}}})^{2}}}&={\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{4^{2}}}+({\frac {{\sqrt {2}}-1}{\sqrt {2}}})^{2}}}\\&={\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{4^{2}}}+{\frac {2+1-2{\sqrt {2}}}{2}}}}\\&={\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{4^{2}}}+{\frac {24-16{\sqrt {2}}}{4^{2}}}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\pi ^{2}+24-16{\sqrt {2}}}}.\end{aligned}}}$

Die dritte Teilstrecke ist gleichlang zur zweiten und die vierte Teilstrecke ist gleichlang zur ersten. Daher ist die Gesamtlänge dieses Streckenzugs insgesamt gleich

${\displaystyle {\frac {1}{2}}({\sqrt {\pi ^{2}+8}}+{\sqrt {\pi ^{2}+24-16{\sqrt {2}}}}).}$

c) Da die Kurve stetig differenzierbar ist, ist sie auch rektifizierbar, und ihre Länge ist gleich

${\displaystyle L=\int _{0}^{\pi }{\sqrt {1+\cos ^{2}t}}\,dt.}$

Wegen ${\displaystyle {}-1\leq \cos t\leq 1}$ ist ${\displaystyle {}\cos ^{2}t\leq 1}$ und daher ist ${\displaystyle {}1+\cos ^{2}t\leq 2}$. Wegen der Monotonie der Quadratwurzel folgt

${\displaystyle {}{\sqrt {1+\cos ^{2}t}}\leq {\sqrt {2}}\,.}$

Also ist

${\displaystyle {}\int _{0}^{\pi }{\sqrt {1+\cos ^{2}t}}\,dt\leq \int _{0}^{\pi }{\sqrt {2}}\,dt={\sqrt {2}}\pi \,.}$