Nach Definition ist

${\displaystyle {}\sinh x={\frac {1}{2}}{\left(e^{x}-e^{-x}\right)}\,,}$

wobei wiederum

${\displaystyle {}e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\,}$

gilt. Für geraden Exponenten ${\displaystyle {}n}$ ist ${\displaystyle {}(-x)^{n}=x^{n}}$ und für ungeraden Exponenten ${\displaystyle {}n}$ ist ${\displaystyle {}(-x)^{n}=-{\left(x^{n}\right)}}$. Deshalb heben sich im Sinus hyperbolicus die Potenzen zu geradem Exponenten weg und die zu ungeradem Exponenten verdoppeln sich. Deshalb ist

${\displaystyle {}\sinh x=\sum _{n{\text{ ungerade}}}{\frac {x^{n}}{n!}}\,.}$

${\displaystyle {}x^{n}}$