Wir arbeiten im Kreisteilungskörper. Es ist ${\displaystyle {}K_{3}=K_{6}}$, da ja mit einer dritten primitiven Einheitswurzel ${\displaystyle {}\zeta }$ auch die sechste primitive Einheitswurzel ${\displaystyle {}-\zeta }$ enthalten ist. Wegen ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]=\mathbb {Q} [{\frac {1+{\sqrt {-3}}}{2}}]=K_{3}}$ würde aus ${\displaystyle {}{\sqrt {6}}\in K_{3}}$ sofort ${\displaystyle {}{\sqrt {-2}}\in K_{3}}$ bzw. aus ${\displaystyle {}{\sqrt {-6}}\in K_{3}}$ sofort ${\displaystyle {}{\sqrt {2}}\in K_{3}}$

folgen. Dies würde dann auch in den Zahlbereichen gelten. Der quadratische Zahlbereich ${\displaystyle {}R_{3}}$ enthält aber nicht den quadratischen Zahlbereich zu ${\displaystyle {}2}$ oder zu ${\displaystyle {}-2}$, da man aus einem quadratischen Zahlbereich ${\displaystyle {}A_{D}}$ das ${\displaystyle {}D}$ rekonstruieren kann, etwa mit der Diskriminante.