Sei ${\displaystyle a\in {\mathbb {Z} }/(p)}$ eine Einheit, also teilerfremd zu ${\displaystyle p}$. Die Projektion ${\displaystyle \varphi :{\mathbb {Z} }/(p^{r})\longrightarrow {\mathbb {Z} }/(p)}$ ist eine Restklassenabbildung, also surjektiv, so dass es Elemente ${\displaystyle b\in {\mathbb {Z} }/(p^{r})}$ gibt, die auf ${\displaystyle a}$ geschickt werden: ${\displaystyle \varphi (b)=a}$. Wir zeigen, dass ein solches Element eine Einheit in ${\displaystyle {\mathbb {Z} }/(p^{r})}$ ist. Angenommen, dies ist nicht der Fall. Dann ist ${\displaystyle b}$ nicht teilerfremd zu ${\displaystyle p^{r}}$ und zu ${\displaystyle p}$, also ist es ein Vielfaches von ${\displaystyle p}$, sagen wir ${\displaystyle b=mp}$. Dann gilt in ${\displaystyle {\mathbb {Z} }/(p^{r})}$ die Beziehung

${\displaystyle b^{r}=(pm)^{r}=p^{r}m^{r}=0\,.}$

Das heißt, dass das Element ${\displaystyle b}$ nilpotent ist. Dann ist aber ebenfalls ${\displaystyle \varphi (b)}$ nilpotent, da ein Ringhomomorphismus nilpotente Elemente in nilpotente Elemente überführt. Dies bedeutet ${\displaystyle a=\varphi (b)=0}$ im Widerspruch dazu, dass ${\displaystyle a}$ eine Einheit ist.