Es handelt sich um eine Potenzreihe mit den Koeffizienten ${\displaystyle {}n^{n}}$. Sie konvergiert für ${\displaystyle {}x=0}$, da dann nur ein Glied von ${\displaystyle {}0}$ verschieden ist. Wir behaupten, dass die Reihe für keine weitere reelle Zahl konvergiert. Da es sich um eine Potenzreihe handelt, genügt es, für jede reelle positive Zahl ${\displaystyle {}x}$ nachzuweisen, dass die Reihe divergiert. Zu ${\displaystyle {}x>0}$ gibt es ein ${\displaystyle {}k\in \mathbb {N} _{+}}$ mit ${\displaystyle {}kx\geq 1}$. Es gilt dann auch ${\displaystyle {}nx\geq 1}$ für alle ${\displaystyle {}n\geq k}$. Wegen

${\displaystyle {}\sum _{n=k}^{\infty }n^{n}x^{n}\geq \sum _{n=k}^{\infty }1\,}$