Für ${\displaystyle {}v\in H_{\sigma }}$ ist

${\displaystyle {}(f\sigma -f)(v)=f(\sigma v)-f(v)=f(v)-f(v)=0\,.}$

Das Polynom ${\displaystyle {}f\sigma -f}$ verschwindet also auf der Nullstellenmenge von ${\displaystyle {}L_{\sigma }}$. Wir können ${\displaystyle {}L_{\sigma }}$ zu einer Variablenmenge ${\displaystyle {}L_{\sigma },L_{2},\ldots ,L_{n}}$ ergänzen und

${\displaystyle {}f\sigma -f=P(L_{\sigma },L_{2},\ldots ,L_{n})L_{\sigma }+Q(L_{2},\ldots ,L_{n})\,}$

schreiben. Das Polynom ${\displaystyle {}Q}$ verschwindet auf ${\displaystyle {}H_{\sigma }}$ und ist somit die Nullfunktion, also muss es auch das Nullpolynom sein, da der Körper unendlich ist.