Dass ein kommutativer Ring vorliegt, wurde schon in Fakt vermerkt. Wir müssen also noch zeigen, dass ein von ${\displaystyle {}0}$ verschiedenes Element ${\displaystyle {}x\in \mathbb {R} }$ ein inverses Element besitzt. Es sei ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in C}$ eine Cauchy-Folge, die dieses ${\displaystyle {}x}$ repräsentiert. Diese Folge ist keine Nullfolge, da ja alle Nullfolgen unter der Restklassenabbildung auf das Nullelement abgebildet werden. Nach Fakt gilt somit eine der dort angegebenen Alternativen, d.h. es gibt ein ${\displaystyle {}\delta \in K_{+}}$ und ein ${\displaystyle {}n_{0}}$ mit der Eigenschaft, dass für ${\displaystyle {}n\geq n_{0}}$ alle Folgenglieder entweder oberhalb von ${\displaystyle {}\delta }$ oder aber unterhalb von ${\displaystyle {}-\delta }$ liegen. Betrachten wir den ersten Fall, wobei wir durch Abändern der ersten ${\displaystyle {}n_{0}}$ Folgenglieder, was die Äquivalenzklasse nicht ändert, annehmen können, dass alle Folgenglieder oberhalb von ${\displaystyle {}\delta }$ liegen. Nach Fakt ist dann die durch

${\displaystyle {}y_{n}={\left(x_{n}\right)}^{-1}\,}$

gegebene inverse Folge ebenfalls eine Cauchy-Folge. Wegen

${\displaystyle {}y_{n}x_{n}=1\,}$

für alle ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ ist auch

${\displaystyle {}[{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]\cdot [{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]=[1]=1\,,}$

und somit ist eine inverse Klasse gefunden.