Reelle Zahlen/Betragseigenschaften/Fakt

Die reelle Betragsfunktion

\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,

erfüllt folgende Eigenschaften (dabei seien ${}x,y$ beliebige reelle Zahlen).

${}\vert {x}\vert \geq 0$ .

${}\vert {x}\vert =0$ genau dann, wenn ${}x=0$ ist.

${}\vert {x}\vert =\vert {y}\vert$ genau dann, wenn ${}x=y$ oder ${}x=-y$ ist.

${}\vert {y-x}\vert =\vert {x-y}\vert$ .

${}\vert {xy}\vert =\vert {x}\vert \vert {y}\vert$ .

Für ${}x\neq 0$ ist ${}\vert {x^{-1}}\vert =\vert {x}\vert ^{-1}$ .

Es ist ${}\vert {x+y}\vert \leq \vert {x}\vert +\vert {y}\vert$ (Dreiecksungleichung für den Betrag).

Es ist ${}\vert {x+y}\vert \geq \vert {x}\vert -\vert {y}\vert$ .

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