Wegen ${\displaystyle {}-1<x<1}$ ist

${\displaystyle {}\delta =\min \vert {x-1}\vert \,,\vert {x+1}\vert \,}$

positiv. Wir setzen ${\displaystyle {}\epsilon$ :={\frac {\delta }{2}}} und damit ist

${\displaystyle {}[x-\epsilon ,x+\epsilon ]\subseteq [-1+\epsilon ,1-\epsilon ]\,.}$

Wegen der Konvergenz der Quotientenfolge gibt es ein ${\displaystyle {}n_{0}}$ derart, dass

${\displaystyle {}x_{n}={\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\in [x-\epsilon ,x+\epsilon ]\,}$

für alle ${\displaystyle {}n\geq n_{0}}$ gilt. Mit

${\displaystyle {}q:=\vert {1-\epsilon }\vert \,}$

gilt somit

${\displaystyle {}\vert {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\vert \leq q<1\,}$

für alle ${\displaystyle {}n\geq n_{0}}$.