Eine konstante Funktion

${\displaystyle \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto c,}$

ist stetig. Zu jedem vorgegebenen ${\displaystyle {}\epsilon }$ kann man hier ein beliebiges ${\displaystyle {}\delta }$ wählen, da ja ohnehin

${\displaystyle {}d(f(x),f(x'))=d(c,c)=0\leq \epsilon \,}$

gilt.

Eine lineare Funktion

${\displaystyle \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto cx,}$

mit einem Proportionalitätsfaktor ${\displaystyle {}c\neq 0}$ (bei ${\displaystyle c=0}$ ist die Funktion konstant und somit auch stetig) ist ebenfalls stetig. Zu jedem vorgegebenen ${\displaystyle {}\epsilon }$ kann man unabhängig vom Punkt ${\displaystyle {}x}$ hier ${\displaystyle {}\delta ={\frac {\epsilon }{c}}}$ wählen: Wenn nämlich

${\displaystyle {}d(x,x')\leq \delta ={\frac {\epsilon }{c}}\,}$

gilt, so ist

${\displaystyle {}d(f(x),f(x'))=d(cx,cx')=cd(x,x')\leq c\cdot \delta =c\cdot {\frac {\epsilon }{c}}=\epsilon \,.}$