Eine konstante Funktion

${\displaystyle \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto c,}$

ist stetig. Zu jedem vorgegebenen ${\displaystyle {}\epsilon }$ kann man hier ein beliebiges ${\displaystyle {}\delta }$ wählen, da ja ohnehin

${\displaystyle {}d(f(x),f(x'))=d(c,c)=0\leq \epsilon \,}$

gilt.

Die Identität

${\displaystyle \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x,}$

ist ebenfalls stetig. Zu jedem vorgegebenen ${\displaystyle {}\epsilon }$ kann man hier ${\displaystyle {}\delta =\epsilon }$ wählen, was zu der Tautologie führt: Wenn ${\displaystyle {}d(x,x')\leq \delta =\epsilon }$, so ist

${\displaystyle {}d(f(x),f(x'))=d(x,x')\leq \epsilon \,.}$