Es seien

${\displaystyle {}x={\frac {a}{b}}={\frac {a'}{b'}}\,}$

und

${\displaystyle {}y={\frac {c}{d}}={\frac {c'}{d'}}\,}$

die beiden zu addierenden rationalen Zahlen. Die Gleichheit der Brüche bedeutet ${\displaystyle {}ab'=a'b}$ und ${\displaystyle {}cd'=c'd}$. Wir müssen zeigen, dass die Addition das gleiche Ergebnis liefert unabhängig davon, welche Bruchdarstellung man wählt, d.h. dass

${\displaystyle {\frac {ad+bc}{bd}}}$

und

${\displaystyle {\frac {a'd'+b'c'}{b'd'}}}$

übereinstimmen. Nach Erweitern mit ${\displaystyle {}b'd'}$ und Kürzen durch ${\displaystyle {}bd}$ ist

${\displaystyle {}{\frac {ad+bc}{bd}}={\frac {adb'd'+bcb'd'}{bdb'd'}}={\frac {a'dbd'+bc'b'd}{bdb'd'}}={\frac {a'd'+b'c'}{b'd'}}\,,}$