Wir arbeiten mit den gleichgradigen Homogenisierungen ${\displaystyle {}H_{1}=T^{2}+S^{2}}$, ${\displaystyle {}H_{2}=S(T+S)=ST+S^{2}}$ und ${\displaystyle {}H_{3}=ST}$. Daraus ergeben sich sechs Monome vom Grad ${\displaystyle {}4}$ (bezogen auf ${\displaystyle {}S,T}$). Da es insgesamt nur ${\displaystyle {}5}$ Monome vom Grad ${\displaystyle {}4}$ gibt, muss dort eine lineare Abhängigkeit bestehen. Es ist

${\displaystyle {}F_{1}=H_{1}H_{1}=T^{4}+2S^{2}T^{2}+S^{4}\,,}$

${\displaystyle {}F_{2}=H_{2}H_{2}=S^{2}T^{2}+2S^{3}T+S^{4}\,,}$

${\displaystyle {}F_{3}=H_{3}H_{3}=S^{2}T^{2}\,,}$

${\displaystyle {}F_{4}=H_{1}H_{2}=ST^{3}+S^{2}T^{2}+S^{3}T+S^{4}\,,}$

${\displaystyle {}F_{5}=H_{1}H_{3}=ST^{3}+S^{3}T\,}$

und

${\displaystyle {}F_{6}=H_{2}H_{3}=S^{2}T^{2}+S^{3}T\,.}$

Da ${\displaystyle {}T^{4}}$ nur in ${\displaystyle {}F_{1}}$ vorkommt, muss es eine lineare Relation zwischen ${\displaystyle {}F_{2},F_{3},F_{4},F_{5},F_{6}}$ geben. Da ${\displaystyle {}F_{3}}$ ein Monom ist, konzentrieren wir uns auf die relvanten Monome ${\displaystyle {}ST^{3},S^{3}T,S^{4}}$ und ${\displaystyle {}F_{2},F_{4},F_{5},F_{6}}$ Es ist

${\displaystyle {}F_{2}-F_{4}+F_{5}-2F_{6}=-2S^{2}T^{2}\,.}$

Also ist

${\displaystyle {}F_{2}+2F_{3}-F_{4}+F_{5}-2F_{6}=0\,}$

eine lineare Relation. Somit ist

${\displaystyle {}F=V^{2}+2W^{2}-UV+UW-2VW\,}$

ein Polynom vom Grad ${\displaystyle {}2}$, das ${\displaystyle {}0}$ ergibt, wenn man die Variablen durch die ${\displaystyle {}H_{1},H_{2},H_{3}}$ ersetzt. Wir dividieren durch ${\displaystyle {}W^{2}}$ und erhalten

${\displaystyle {\left({\frac {V}{W}}\right)}^{2}+2-{\frac {U}{W}}\cdot {\frac {V}{W}}+{\frac {U}{W}}-2{\frac {V}{W}}.}$

Wenn man darin ${\displaystyle {}H_{1},H_{2},H_{3}}$ einsetzt und dann ${\displaystyle {}S}$ durch ${\displaystyle {}1}$ ersetzt, kommt nach wir vor ${\displaystyle {}0}$ raus. Die entstehenden Ersetzungen für ${\displaystyle {}U/W}$ bzw. ${\displaystyle {}V/W}$ sind aber die ursprünglichen rationalen Funktionen. Ein annullierendes Polynom ist demnach

${\displaystyle Y^{2}-XY+X-2Y+2.}$

Als Probe betrachten wir

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left({\frac {t+1}{t}}\right)}^{2}-{\frac {t^{2}+1}{t}}\cdot {\frac {t+1}{t}}+{\frac {t^{2}+1}{t}}-2{\frac {t+1}{t}}+2&={\frac {t^{2}+2t+1-t^{3}-t^{2}-t-1+t^{3}+t-2t^{2}-2t+2t^{2}}{t^{2}}}\\&=0.\end{aligned}}}$