Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$. Zeige, dass die Funktionen ${\displaystyle {}\varphi \colon K^{n}\rightarrow K}$ der Form

${\displaystyle {}\varphi ={\frac {P}{Q}}\,}$

mit Polynomen ${\displaystyle {}P,Q\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ und ${\displaystyle {}Q}$ nullstellenfrei auf ${\displaystyle {}K^{n}}$ einen kommutativen Ring bilden. Zeige, dass bei ${\displaystyle {}K}$ algebraisch abgeschlossen