Der Abstand von ${\displaystyle {}P=(x,y)}$ zum Nullpunkt ist ${\displaystyle {}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ und der senkrechte Abstand zurAchse ${\displaystyle {}x=1}$ ist ${\displaystyle {}|x-1|}$. Die Proportionalität drückt man durch

${\displaystyle {}{\frac {d(P,F)}{d(P,G)}}={\sqrt {e}}\,}$

aus. Also ist

${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\sqrt {e}}(x-1){\text{ bzw. }}x^{2}+y^{2}=e(x-1)^{2}.}$

Somit ist

${\displaystyle {}(1-e)x^{2}+y^{2}+2ex-e=0\,}$

eine algebraische Gleichung für eine Kurve, auf der alle Punkte liegen, die die Bedingung erfüllen. Bei ${\displaystyle {}e=1}$ wird die Gleichung zu

${\displaystyle y^{2}+2ex-e=0{\text{ bzw. }}x=-{\frac {1}{2e}}y^{2}+{\frac {1}{2}},}$

so dass in diesem Fall eine Parabel vorliegt. Sei also ${\displaystyle {}e\neq 1}$ im Folgenden. Die allgemeine Gleichung kann man zu

${\displaystyle {}x^{2}+{\frac {1}{1-e}}y^{2}+{\frac {2e}{1-e}}x-{\frac {e}{1-e}}=0\,}$

umformen und durch quadratisches Ergänzen auf die Form

${\displaystyle {}{\left(x+{\frac {e}{1-e}}\right)}^{2}+{\frac {1}{1-e}}y^{2}-{\frac {e^{2}}{(1-e)^{2}}}-{\frac {e}{1-e}}=0\,}$

bringen. Dies schreiben wir als

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(x+{\frac {e}{1-e}}\right)}^{2}+{\frac {1}{1-e}}y^{2}&={\frac {e^{2}}{(1-e)^{2}}}+{\frac {e}{1-e}}\\&={\frac {e^{2}-e^{2}+e}{(1-e)^{2}}}\\&=:c\\&>0.\end{aligned}}}$

Der Faktor ${\displaystyle {}{\frac {1}{1-e}}}$ ist für ${\displaystyle {}e<1}$ positiv und für ${\displaystyle {}e>1}$ negativ. Im ersten Fall liegt also nach Koordinatenwechsel eine Gleichung der Form

${\displaystyle {}{\tilde {x}}^{2}+{\tilde {y}}^{2}=c\,,}$

also eine Ellipse, und im zweiten Fall liegt

${\displaystyle {}{\tilde {x}}^{2}-{\tilde {y}}^{2}=c\,}$