Man möchte entscheiden, ob die Gleichung

${\displaystyle x^{2}=57\mod 127}$

eine Lösung besitzt. Dazu berechnet man

${\displaystyle {}\left({\frac {57}{127}}\right)=\left({\frac {3}{127}}\right)\left({\frac {19}{127}}\right)\,}$

und kann wie oben die beiden Faktoren mit dem Reziprozitätsgesetz weiter vereinfachen:

${\displaystyle {}\left({\frac {3}{127}}\right)=-\left({\frac {127}{3}}\right)=-\left({\frac {1}{3}}\right)=-1\,}$

und

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\left({\frac {19}{127}}\right)&=-\left({\frac {127}{19}}\right)\\&=-\left({\frac {13}{19}}\right)\\&=-\left({\frac {19}{13}}\right)\\&=-\left({\frac {6}{13}}\right)\\&=(-1)\left({\frac {2}{13}}\right)\left({\frac {3}{13}}\right)\\&=(-1)(-1)\left({\frac {13}{3}}\right)\\&=(-1)(-1)\left({\frac {1}{3}}\right)\\&=(-1)(-1)1\\&=1.\end{aligned}}}$

Setzt man alles zusammen, so ergibt sich

${\displaystyle {}\left({\frac {57}{127}}\right)=-1\,}$

und damit die Erkenntnis, dass die obige Gleichung keine Lösung besitzt.