Die Zahlen ${\displaystyle {}1003}$ und ${\displaystyle {}4459}$ haben beide modulo ${\displaystyle {}4}$ den Rest ${\displaystyle {}3}$. Somit ist

${\displaystyle {}\left({\frac {1003}{4459}}\right)=-\left({\frac {4459}{1003}}\right)=-\left({\frac {447}{1003}}\right)\,.}$

Die Zahl ${\displaystyle {}447}$ hat ebenfalls den Rest ${\displaystyle {}3}$ modulo ${\displaystyle {}4}$, also ist dies gleich

${\displaystyle {}\left({\frac {1003}{447}}\right)=\left({\frac {109}{447}}\right)\,.}$

Die Zahl ${\displaystyle {}109}$ hat den Rest ${\displaystyle {}1}$ modulo ${\displaystyle {}4}$, somit ist dies gleich

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\left({\frac {447}{109}}\right)&=\left({\frac {11}{109}}\right)\\&=\left({\frac {109}{11}}\right)\\&=\left({\frac {10}{11}}\right)\\&=\left({\frac {2}{11}}\right)\cdot \left({\frac {5}{11}}\right)\\&=\left({\frac {2}{11}}\right)\cdot \left({\frac {11}{5}}\right)\\&=\left({\frac {2}{11}}\right)\cdot \left({\frac {1}{5}}\right)\\&=\left({\frac {2}{11}}\right).\end{aligned}}}$

Wegen ${\displaystyle {}2^{5}=32=-1\mod 11}$ ist dies nach dem Euler-Kriterium

${\displaystyle {}-1}$