Für ein vorgegebenes quadratfreies ${\displaystyle {}D}$ kann man grundsätzlich effektiv entscheiden, ob der quadratische Zahlbereich ${\displaystyle {}A_{D}}$ faktoriell ist oder nicht. Für ${\displaystyle {}D<0}$ ist dies genau für

${\displaystyle {}D=-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163\,}$

der Fall. Es war bereits von Gauß vermutet worden, dass dies alle sind, es wurde aber erst 1967 von Heegner und Stark bewiesen. Man weiß auch, für welche von diesen ${\displaystyle {}D}$ der Ganzheitsbereich euklidisch ist, nämlich nach Fakt für ${\displaystyle {}D=-1,-2,-3,-7,-11}$, aber nicht für die anderen vier Werte.

Für ${\displaystyle {}D>0}$ wird vermutet, dass für unendlich viele Werte der Ganzheitsbereich faktoriell ist. Für ${\displaystyle {}D<100}$ liegt ein faktorieller Bereich für die Werte

${\displaystyle 2,3,5,6,7,11,13,14,17,19,21,23,29,31,33,37,38,41,43,46,47,}$

${\displaystyle 53,57,59,61,62,67,69,71,73,77,83,86,89,93,94,97}$

vor. Dagegen weiß man (Chatland und Davenport 1950), für welche positiven ${\displaystyle {}D}$ der Ganzheitsbereich ${\displaystyle {}A_{D}}$ euklidisch ist, nämlich für ${\displaystyle {}D=2,3,5,6,7,11,13,17,19,21,29,33,37,41,57,73}$.