Eisenstein-Zahlen als Punkte eines Dreiecksgitters in der komplexen Zahlenebene

Die Eisenstein-Zahlen sind komplexe Zahlen der Form

${\displaystyle {}z=a+b{\left({\frac {1}{2}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\sqrt {3}}\right)}\,}$

mit ganzen Zahlen ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}b}$. Insbesondere ist

${\displaystyle {}\omega =-{\frac {1}{2}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\sqrt {3}}=e^{2\pi \mathrm {i} /3}\,}$

eine Eisenstein-Zahl. Diese Zahl ist zugleich eine (primitive) dritte Einheitswurzel (also ${\displaystyle \omega ^{3}=1}$), so dass der Ring der Eisenstein-Zahlen zugleich der dritte Kreisteilungsring ist. Wegen ${\displaystyle {}\omega ^{3}-1=(\omega -1)(\omega ^{2}+\omega +1)}$ und

${\displaystyle {}\omega \neq 1\,}$

gilt die Gleichung

${\displaystyle {}\omega ^{2}+\omega +1=0\,.}$