Es geht um die Lösungen des Gleichungssystems

${\displaystyle {}x^{2}+xy+3y^{2}=3\,}$

und

${\displaystyle {}2x^{2}-xy+y^{2}=4\,.}$

Die Summe der beiden Gleichungen ist

${\displaystyle {}3x^{2}+4y^{2}=7\,}$

und ${\displaystyle {}2I-II}$ ist

${\displaystyle {}3xy+5y^{2}=2\,.}$

Mit der letzten Gleichung schreiben wir

${\displaystyle {}x={\frac {2-5y^{2}}{3y}}\,,}$

wobei es bei ${\displaystyle {}y=0}$ definitiv keine Lösung gibt. Wir setzen diesen Ausdruck für ${\displaystyle {}x}$ in die obige Gleichung ein und erhalten

${\displaystyle {}3{\left({\frac {2-5y^{2}}{3y}}\right)}^{2}+4y^{2}=7\,.}$

Multiplikation mit ${\displaystyle {}3y^{2}}$ führt auf

${\displaystyle {}{\begin{aligned}0&={\left(2-5y^{2}\right)}^{2}+12y^{4}-21y^{2}\\&=4-20y^{2}+25y^{4}+12y^{4}-21y^{2}\\&=37y^{4}-41y^{2}+4.\end{aligned}}}$