Der Ansatz

${\displaystyle {}(a+b{\mathrm {i} })^{2}=a^{2}-b^{2}+2ab{\mathrm {i} }=w={\frac {-5+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\,}$

führt auf die zwei reellen Gleichungen

${\displaystyle {}a^{2}-b^{2}={\frac {-5}{2}}\,}$

und

${\displaystyle {}2ab={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,.}$

Daraus folgt direkt, dass ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}b}$ nicht ${\displaystyle {}0}$ sein können. Wir lösen die zweite Gleichung nach ${\displaystyle {}b}$ auf und erhalten

${\displaystyle {}b={\frac {\sqrt {3}}{4a}}\,.}$

Dies setzen wir in die erste Gleichung ein und erhalten

${\displaystyle {}a^{2}-b^{2}=a^{2}-\left({\frac {\sqrt {3}}{4a}}\right)^{2}=a^{2}-\left({\frac {3}{16a^{2}}}\right)=-{\frac {5}{2}}\,.}$

Multiplikation mit ${\displaystyle {}a^{2}}$ und umstellen ergibt

${\displaystyle {}a^{4}+{\frac {5}{2}}a^{2}-{\frac {3}{16}}=0\,.}$

Dies ist eine biquadratische Gleichung, die zugrunde liegende quadratische Gleichung ist (mit ${\displaystyle {}y=a^{2}}$)

${\displaystyle {}y^{2}+{\frac {5}{2}}y-{\frac {3}{16}}=0\,}$

mit den Lösungen

${\displaystyle {}y_{1},y_{2}={\frac {-{\frac {5}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {25}{4}}+{\frac {3}{4}}}}}{2}}={\frac {-{\frac {5}{2}}\pm {\sqrt {\frac {28}{4}}}}{2}}={\frac {-{\frac {5}{2}}\pm {\sqrt {7}}}{2}}=-{\frac {5}{4}}\pm {\frac {\sqrt {7}}{2}}\,.}$

Dabei ist

${\displaystyle {}y_{1}=-{\frac {5}{4}}+{\frac {\sqrt {7}}{2}}={\frac {1}{4}}{\left(-5+2{\sqrt {7}}\right)}\,}$

positiv und besitzt die reellen Quadratwurzeln

${\displaystyle {}a_{1},a_{2}=\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {-5+2{\sqrt {7}}}}\,}$

und somit sind die komplexen Quadratwurzeln von ${\displaystyle {}w}$ gleich

${\displaystyle {}z_{1}={\frac {1}{2}}{\sqrt {-5+2{\sqrt {7}}}}+{\frac {\sqrt {3}}{2{\sqrt {-5+2{\sqrt {7}}}}}}{\mathrm {i} }\,}$

und

${\displaystyle {}z_{2}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-5+2{\sqrt {7}}}}-{\frac {\sqrt {3}}{2{\sqrt {-5+2{\sqrt {7}}}}}}{\mathrm {i} }\,.}$