Wir betrachten den Ring ${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]}$, der aus allen komplexen Zahlen der Form

${\displaystyle a+b{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }{\text{ mit }}a,b\in \mathbb {Z} }$

besteht und ein Unterring des Ringes der Eisensteinzahlen ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}]}$ ist. Letzterer Ring ist nach Fakt euklidisch und ein Hauptidealbereich. Dagegen gilt in ${\displaystyle {}R}$ noch nicht einmal die eindeutige Primfaktorzerlegung, es ist nämlich

${\displaystyle {}(1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} })(1-{\sqrt {3}}i)=4=2\cdot 2\,}$

und in beiden Zerlegungen sind die Faktoren irreduzibel, da es in ${\displaystyle {}R}$ (und im Eisensteinring) keine Elemente mit Betragsquadrat ${\displaystyle {}2}$. Im Ring der Eisensteinzahlen sind wegen

${\displaystyle {}1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }={\frac {1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\cdot 2\,}$

die Faktoren zueinander assoziiert, aber nicht in ${\displaystyle {}R}$, da es dort die Einheit ${\displaystyle {}{\frac {1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}}$ nicht gibt. Das Ideal

${\displaystyle {}(2,1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} })=(1-{\sqrt {3}}{\mathrm {i} },1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} })\,}$

ist in ${\displaystyle {}R}$ kein Hauptideal.