Wir betrachten die Quadratabbildung

${\displaystyle \varphi \colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{2},}$

für verschiedene Körper ${\displaystyle {}K}$.

1. Ist ${\displaystyle {}\varphi }$ linear für

   ${\displaystyle {}K=\mathbb {Q} \,?}$

2. Ist ${\displaystyle {}\varphi }$ linear für

   ${\displaystyle {}K=\mathbb {Z} /(2)\,,}$

   dem Körper mit zwei Elementen.

3. Es sei nun ${\displaystyle {}K}$ ein Körper, in dem ${\displaystyle {}2=1+1=0}$ gelte, der mehr als zwei Elemente enthalte. Ist ${\displaystyle {}\varphi }$ linear? Ist ${\displaystyle {}\varphi }$ verträglich mit der Addition?