Der (Einheits-)Kreis ist ein eindimensionales Objekt und es gibt verschiedene (Teil-)Parametrisierungen für ihn, etwa durch

${\displaystyle x\longmapsto {\left(x,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)},}$

oder die trigonometrische Parametrisierung

${\displaystyle t\longmapsto (\cos(t),\sin(t)),}$

Hier brauchen wir aber eine Parametrisierung, die rationale Zahlen in solche Punkte überführt, deren beide Koordinaten rational sind.

Wir betrachten hierzu die Abbildung, die einen Punkt ${\displaystyle {}t}$ auf der ${\displaystyle {}y}$-Achse auf den Durchstoßungspunkt ${\displaystyle {}(x,y)}$ abbildet, den der Einheitskreis mit der durch ${\displaystyle {}(0,t)}$ und ${\displaystyle {}(-1,0)}$ definierten Geraden bildet. Aufgrund des Strahlensatzes haben wir die Bedingung

${\displaystyle {}{\frac {t}{1}}={\frac {y}{1+x}}\,}$

bzw. ${\displaystyle {}y=t(1+x)}$. Setzt man diese Gleichung in die Gleichung des Einheitskreises ein, so erhält man

${\displaystyle {}1=x^{2}+y^{2}=x^{2}+t^{2}(x+1)^{2}\,}$

und damit

${\displaystyle {}0=(x^{2}-1)+t^{2}(x+1)^{2}=(x+1){\left((x-1)+t^{2}(x+1)\right)}\,.}$

Da uns die erste Lösung ${\displaystyle {}x=-1}$ nicht interessiert, betrachten wir den zweiten Faktor

${\displaystyle {}0=(x-1)+t^{2}(x+1)=x(1+t^{2})+t^{2}-1\,,}$

die zu

${\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\,\,\,{\text{ und }}\,\,\,y=t\cdot (x+1)=t\cdot {\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}+1\right)}={\frac {2t}{1+t^{2}}}}$

führt. Die Abbildung

${\displaystyle t\longmapsto {\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)}=(x,y)}$

ist also eine rationale Parametrisierung des Einheitskreises.