${\displaystyle {}K}$

${\displaystyle {}x,y,z,u,v,w}$

${\displaystyle {}(z-x)(z-y)+(w-u)(w-v)=0\,}$

ist. Unter Verwendung des Distributivgesetzes (bzw. der zweiten binomischen Formel) bedeutet dies

${\displaystyle {}z^{2}-xz-yz+xy+w^{2}-uw-vw+uv=0\,.}$

Entsprechend ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}(x-z)(x-z)+(u-w)(u-w)+(y-z)(y-z)+(v-w)(v-w)&=x^{2}+z^{2}-2xz+u^{2}+w^{2}-2uw+y^{2}+z^{2}-2yz+v^{2}+w^{2}-2vw\\&=x^{2}-2xz+u^{2}-2uw+y^{2}-2yz+v^{2}-2vw+2z^{2}+2w^{2}.\end{aligned}}}$

Wenn wir davon zweimal ${\displaystyle {}0}$ abziehen, und zwar in der oben etablierten Form, so ändert sich der Wert nicht und dies ist gleich

${\displaystyle {}{\begin{aligned}x^{2}-2xz+u^{2}-2uw+y^{2}-2yz+v^{2}-2vw+2z^{2}+2w^{2}-2{\left(z^{2}-xz-yz+xy+w^{2}-uw-vw+uv\right)}&=x^{2}+u^{2}+y^{2}+v^{2}-2xy-2uv\\&=(x-y)(x-y)+(u-v)(u-v),\end{aligned}}}$

was insgesamt die Behauptung ist.

${\displaystyle {}K=\mathbb {R} }$

${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle P={\begin{pmatrix}x\\u\end{pmatrix}},\,Q={\begin{pmatrix}y\\v\end{pmatrix}},\,R={\begin{pmatrix}z\\w\end{pmatrix}}.}$

Die Verbindungsvektoren sind dann

${\displaystyle {}R-P={\begin{pmatrix}z\\w\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}x\\u\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}z-x\\w-u\end{pmatrix}}\,}$

und

${\displaystyle {}R-Q={\begin{pmatrix}z\\w\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}y\\v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}z-y\\w-v\end{pmatrix}}\,.}$

Das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren ist

${\displaystyle {}\left\langle {\begin{pmatrix}z-x\\w-u\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}z-y\\w-v\end{pmatrix}}\right\rangle =(z-x)(z-y)+(w-u)(w-v)\,.}$

Dass dies gleich ${\displaystyle {}0}$ ist, bedeutet, dass diese beiden Vektoren aufeinander senkrecht stehen, dass also ${\displaystyle {}P,Q,R}$ ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel an ${\displaystyle {}R}$ bilden. Das Quadrat der Länge der Strecke von ${\displaystyle {}P}$ nach ${\displaystyle {}Q}$ ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}d(P,Q)^{2}&=\Vert {{\begin{pmatrix}x\\u\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}y\\v\end{pmatrix}}}\Vert ^{2}\\&=\Vert {\begin{pmatrix}x-y\\u-v\end{pmatrix}}\Vert ^{2}\\&=(x-y)(x-y)+(u-v)(u-v)\end{aligned}}}$

und entsprechend ist

${\displaystyle {}d(P,R)^{2}=(x-z)(x-z)+(u-w)(u-w)\,}$

und

${\displaystyle {}d(Q,R)^{2}=(y-z)(y-z)+(v-w)(v-w)\,.}$

Der Nachsatz drückt also die Längenbeziehung im rechtwinkligen Dreieck aus.