Angenommen, die Menge aller Primzahlen sei endlich, sagen wir ${\displaystyle {}\{p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}\}}$. Man betrachtet die Zahl

${\displaystyle {}N=p_{1}\cdot p_{2}\cdot p_{3}{\cdots }p_{r}\ +1\,.}$

Diese Zahl ist durch keine der Primzahlen ${\displaystyle {}p_{i}}$ teilbar, da bei Division von ${\displaystyle {}N}$ durch ${\displaystyle {}p_{i}}$ immer ein Rest ${\displaystyle {}1}$ verbleibt. Damit sind die Primfaktoren von ${\displaystyle {}N}$, die es nach Fakt geben muss, nicht in der Ausgangsmenge enthalten - Widerspruch.