Wir nehmen an, dass

${\displaystyle {}\sum _{i=1}^{n}q_{i}\ln p_{i}=0\,}$

ist, wobei ${\displaystyle {}p_{1},\ldots ,p_{n}}$ verschiedene Primzahlen und ${\displaystyle {}q_{1},\ldots ,q_{n}}$ rationale Zahlen sind. Diese müssen wir als ${\displaystyle {}0}$ nachweisen. Durch Multiplikation mit einem Hauptnenner können wir annehmen, dass die ${\displaystyle {}q_{i}}$ ganze Zahlen sind. Wir wenden die Exponentialfunktion auf die obige Gleichung an und erhalten

${\displaystyle {}e^{\sum _{i=1}^{n}q_{i}\ln p_{i}}=e^{q_{1}\ln p_{1}}\cdots e^{q_{n}\ln p_{n}}=\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{q_{i}}=e^{0}=1\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}I\subseteq {\{1,\ldots ,n\}}}$ die Teilmenge aller ${\displaystyle {}i}$, für die der Exponent ${\displaystyle {}q_{i}}$ nichtnegativ ist. Durch Sortieren erhalten wir eine Gleichung der Form

${\displaystyle {}\prod _{i\in I}p_{i}^{q_{i}}=\prod _{i\in {\{1,\ldots ,n\}}\setminus I}p_{i}^{-q_{i}}\,.}$

${\displaystyle {}q_{i}=0}$